Chapitre 1 — Introduction et Représentation des données

🎯 Objectifs d’apprentissage

• Comprendre ce qu’est l’IA, son histoire et ses grandes familles (Symbolique vs Connexionniste).
• Savoir numériser le monde réel : comment transformer une image, un texte ou un son en un vecteur de nombres.
• Maîtriser la notion de dimension et d’espace vectoriel.
• Calculer une distance entre deux données pour évaluer leur similarité.
• Comprendre l’importance cruciale de la normalisation des données.

1. Qu’est-ce que l’IA ?

1.1 Définition et Nuances

L’Intelligence Artificielle (IA) est un domaine vaste et parfois mal défini. Une définition pragmatique serait :

“L’ensemble des théories et des techniques mises en œuvre en vue de réaliser des machines capables de simuler l’intelligence.”

Il faut distinguer deux concepts souvent confondus :

• IA Faible (Weak AI) : Une machine capable de résoudre un problème spécifique mieux qu’un humain (ex: jouer aux échecs, reconnaître un cancer sur une radio). C’est l’IA d’aujourd’hui.
• IA Forte (Strong AI / AGI) : Une machine dotée de conscience, capable d’apprendre n’importe quelle tâche et de raisonner comme un humain. C’est l’IA de la science-fiction (pour l’instant).

1.2 Une brève histoire de l’IA

L’IA n’est pas née avec ChatGPT. C’est une discipline qui a connu des cycles d’euphorie (“Printemps de l’IA”) et de désillusion (“Hivers de l’IA”).

• 1950 — Le Test de Turing : Alan Turing propose un test : si un humain ne peut pas distinguer une machine d’un autre humain lors d’une conversation textuelle, la machine est “intelligente”.
• 1956 — Conférence de Dartmouth : Naissance officielle du terme “Intelligence Artificielle”.
• 1950-1980 — L’Âge d’Or de l’IA Symbolique : On pensait pouvoir tout résoudre avec de la logique formelle (“Si… Alors…”).
  • Succès : Les systèmes experts (médecine, échecs).
  • Échec : Incapacité à gérer le flou, l’ambiguïté du langage ou la vision (reconnaître un chat est impossible avec des règles “Si… Alors…”).
• 1990-2010 — L’Ère du Machine Learning (Statistique) : Changement de paradigme. On arrête de dicter les règles à la machine, on lui donne des données pour qu’elle trouve les règles elle-même.
• 2012 — La Révolution Deep Learning : Le retour des réseaux de neurones (inventés bien plus tôt) grâce à la puissance de calcul (cartes graphiques GPU) et aux mégadonnées (Big Data). AlexNet écrase la concurrence en reconnaissance d’image.
• 2022 — L’Ère Générative : ChatGPT, Midjourney. L’IA ne se contente plus de classer, elle crée.

1.3 Les trois paradigmes en résumé

2. Représentation des données : Tout est vecteur

Pour qu’un ordinateur puisse traiter une information (une image, une phrase, un son), cette information doit être convertie en une liste de nombres. C’est l’étape de numérisation ou d’encodage.

En mathématiques, une liste ordonnée de nombres s’appelle un vecteur.

Définition Formelle : Un vecteur $\mathbf{x}$ de dimension $d$ appartient à l’espace vectoriel ${\mathbb{R}}^d$. $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^d⟺\mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_d)$ où chaque $x_i$ est un nombre réel.

2.1 Données Tabulaires (Structurées)

C’est le cas le plus simple. Imaginez un fichier Excel décrivant des appartements. Chaque ligne est un exemple (ou sample), chaque colonne est une caractéristique (ou feature).

L’appartement n°1 est représenté par le vecteur ${\mathbf{x}}^{(1)}$ : ${\mathbf{x}}^{(1)}=\left(\begin{array}{c}45\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

Ici, notre espace est de dimension 3 ($d=3$). Chaque appartement est un point dans un espace 3D.

2.2 Images (Non structurées)

Une image numérique est une grille de pixels.

• Noir et Blanc : Chaque pixel est un nombre entre 0 (noir) et 255 (blanc).
  • Une image de $28\times 28$ pixels contient $28\times 28=784$ nombres.
  • Pour l’IA, on “aplatit” cette grille pour en faire un vecteur géant de dimension 784.

Visualisation : Aplatir une image (Flattening)

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→

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On découpe chaque ligne et on les met bout à bout.

• Couleur (RGB) : Chaque pixel a 3 valeurs (Rouge, Vert, Bleu).
  • Une image $28\times 28$ couleur est un vecteur de dimension $28\times 28\times 3=2352$.

Intuition : Pour l’ordinateur, une photo de chat n’est pas une “image”, c’est une liste de 2352 nombres. Si on change un pixel, on déplace légèrement le point dans cet espace gigantesque.

2.3 Texte (NLP)

Comment transformer “Le chat mange” en nombres ? Une méthode simple est le Bag of Words (Sac de mots) :

1. On définit un vocabulaire (ex: 10 000 mots).
2. On compte la présence de chaque mot.

Phrase : “Le chat mange le poisson” Vecteur : [chat: 1, chien: 0, le: 2, mange: 1, poisson: 1, ...]

C’est un vecteur très creux (beaucoup de zéros) et de très grande dimension.

3. Notion de Distance et Similarité

Une fois que nos données sont des points dans un espace vectoriel, on peut mesurer à quel point elles sont proches. En IA, la proximité géométrique signifie souvent une similarité sémantique.

• Deux appartements proches dans l’espace vectoriel ont des prix similaires.
• Deux images proches (pixel par pixel) se ressemblent visuellement.

3.1 La Distance Euclidienne ($L_2$)

C’est la distance “à vol d’oiseau”, celle que vous mesurez avec une règle. Elle découle du théorème de Pythagore.

Pour deux points $A$ et $B$ en 2 dimensions : $d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$

Généralisation en dimension $d$ : Pour deux vecteurs $\mathbf{u}=(u_1,...,u_d)$ et $\mathbf{v}=(v_1,...,v_d)$ :

$d(\mathbf{u},\mathbf{v})=\sqrt{{\sum }_{i=1}^d(u_i-v_i{)}^2}$

Exercice mental :

• Appartement A : 30m², 1 pièce. Vecteur $\mathbf{a}=(30,1)$
• Appartement B : 32m², 2 pièces. Vecteur $\mathbf{b}=(32,2)$

Distance au carré : $(32-30{)}^2+(2-1{)}^2=2^2+1^2=4+1=5$. Distance : $\sqrt{5}\approx 2.23$.

3.2 La Distance de Manhattan ($L_1$)

C’est la distance “taxi”. Dans une ville quadrillée comme New York, on ne peut pas traverser les immeubles. On doit longer les rues. $d(\mathbf{u},\mathbf{v})={\sum }_{i=1}^d|u_i-v_i|$ Dans l’exemple précédent : $|32-30|+|2-1|=2+1=3$.

3.3 La Similarité Cosinus

Parfois, la magnitude (la longueur) du vecteur n’importe pas, seule sa direction compte. Exemple : Analyse de texte.

• Texte A : “Le chat mange.” (Vecteur : [1, 1, 1])
• Texte B : “Le chat mange. Le chat mange.” (Vecteur : [2, 2, 2])

Ces deux textes ont le même sens, mais le vecteur B est deux fois plus long. La distance Euclidienne serait grande. La Similarité Cosinus mesure l’angle $\theta$ entre les deux vecteurs.

$\text{Cosinus}(\mathbf{u},\mathbf{v})=\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert }$

Où le produit scalaire $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}$ se calcule ainsi : $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}={\sum }_{i=1}^d{u}_i\times v_i=u_1{v}_1+u_2{v}_2+...+u_d{v}_d$

• Si $\cos (\theta )=1$ : Angle de $0$ rad (Vecteurs colinéaires, sens identique).
• Si $\cos (\theta )=0$ : Angle de $\frac{\pi }{2}$ rad (Vecteurs orthogonaux, rien à voir).
• Si $\cos (\theta )=-1$ : Angle de $\pi$ rad (Vecteurs opposés).

4. L’importance cruciale de la Normalisation

Regardons notre exemple immobilier :

• Surface : varie de 10 à 200 (m²).
• Nombre de pièces : varie de 1 à 5.

Si on calcule la distance entre deux appartements :

• Différence de surface : 10 m² $\to$ contribution de $10^2=100$ à la distance.
• Différence de pièces : 2 pièces $\to$ contribution de $2^2=4$ à la distance.

Problème : La variable “Surface” écrase complètement la variable “Pièces” juste parce que ses chiffres sont plus grands. L’algorithme va penser que le nombre de pièces n’a aucune importance !

4.1 La solution : Mise à l’échelle (Scaling)

Il faut ramener toutes les variables sur une échelle comparable. Il existe deux méthodes principales :

A. Normalisation Min-Max

On ramène tout entre 0 et 1. C’est simple mais sensible aux valeurs extrêmes (outliers). $x_{norm}=\frac{x-x_{min}}{x_{max}-x_{min}}$

B. Standardisation (Z-Score)

C’est la méthode préférée des statisticiens. On centre la distribution sur 0 et on réduit l’écart-type à 1. $x_{std}=\frac{x-\mu }{\sigma }$

• $\mu$ (mu) : la moyenne.
• $\sigma$ (sigma) : l’écart-type.

Note : Si vos données suivent une loi Normale (Gaussienne), la Standardisation est bien plus robuste que le Min-Max.

Exemple Min-Max :

• Surface min = 20, max = 120.
• Mon appart fait 70m².
• $x_{norm}=\frac{70-20}{120-20}=\frac{50}{100}=0.5$.

Maintenant, la surface vaut 0.5 et le nombre de pièces (s’il est aussi normalisé) vaudra peut-être 0.4. Les deux variables ont désormais le même “poids” dans le calcul de distance.

5. Résumé du cours

1. L’IA a évolué des règles logiques (Symbolique) vers l’apprentissage par l’exemple (Machine Learning).
2. Tout est vecteur : Pour traiter le monde réel, on le transforme en listes de nombres.
3. L’espace vectoriel : Chaque donnée est un point. La dimension de l’espace est le nombre de caractéristiques.
4. La distance (Euclidienne) permet de mesurer la similarité entre deux données.
5. Normaliser est obligatoire : Il ne faut jamais mélanger des unités différentes (mètres, kilos, euros) sans les mettre à la même échelle.

Prochain chapitre : Chapitre 2 — Apprentissage Supervisé : Régression et KNN